2021高考真题答案
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本文2021年北京卷高考评析数学学科，来跟大家来谈一谈刚刚考完的北京卷高考数学的情况。我今天将从三个部分来跟大家谈一谈，第一个是北京卷整体的评析，第二个是考点的剖析和往年试题的对比分析，第三个是给即将现阶段高二和高一学生在新高考下的复习备考提供一个建议。
我们先看第一个部分是北京卷的整体评析，刚刚考完也有学生跟我反馈说，老师今年试卷好像有点变化，整体有点难，其实整体的变化来讲每年都会有一些，它体现出来的是在高考当中的稳定，但是又会有一定的创新和变化，主要是高考要达到一个人才选拔的要求，所以会有一定的区分。第二个在整个题型设置上也会有一定的适配和全面性的问题，这里所说的适配像每一届高三都会面临的四次大考，包括上学期的期中考试、期末考试，第二学期一模考试和二模考试，整个高考会结合着四次大考试内容体现出来数学考查要求，整个考题的要求上来讲又会展现出来全面性，在各个模块，各个章节知识点都会做一定的要求。
在今年也是一样跟去年持平保持着10+5+6的结构形式，就是10个选择题，5个填空题和6个解答题的形式展现，在考查特色上面来讲，还是以延续着北京卷的考查特色，包括灵活度的考查以及创新题，在去年和今年都会有一个比较明显的试题，就是在解答题是有一个结构不良的题型，大家也把它称之为叫做劣构式题型，它需要考查的是学生在选择条件和分析题意的情况下去选择一个相对你熟悉的或者说能够解决问题的序号来去解答这道题，所以对学生的分析和整体把控能力要求是稍微高了一些的，但结合往年考题来讲，其实变化不是特别的明显，只是对学生有一个视觉上的冲击感。然后就是最后一道创新题，一直都延续着理科卷的数列创新或者是集合，这两个问题，今年也是不例外的。
整体来讲会体现出来这么四个大东西，包括像考点比较全面、层次比较分明，在选择、填空、解答题各个章节、各个模块之间都会体现出来高考要求的能力检测。第二个是包括灵活有变，这个方面像今年有孩子跟我反馈到，今年的题有点不一样，它其实就是有一个灵活度的变化，区分度是比较明显的，它需要达到高考要求的人才选拔，也是一个育人的要求。综合地去考查知识能力的运用，包括从数学学科专门的学科知识来讲，到拿数学学科知识点去解决实际生活的应用，它都会在高考当中进行体现。第三个是题型设置的背景是较为新颖的，会给学生具有一个视觉上的冲击，就是说这道题不仅仅需要我们去解决的是数学方面的知识要求，更多的可能是需要先结合实际生活，也让学生能感受得到数学这个学科在实际生活当中的应用。最后一个是新高考下提出来的关于核心素养的考查，在题型的设置上面来讲，高考一定会立意创新，最后达到高考最终的要求就是人才的选拔。所以这个层面上来讲，就会在高考做了一个整体的要求。
具体来讲，比如说我们看一下去年的一些试题，来体现咱们刚刚前面提到的这些要求是怎么落实到试卷当中去的。必然是会有一定的基础题，也会有稍难一点的题，题型的设置上面来讲，今年可能会有一个微调的变化，它的基础题肯定还是有的，只是说在放的位置上面可能会对学生有一定的变化，学生可能需要去挖掘出来一些更多的信息。比如说我们可以先看看去年的一些基础性的题型，比如说选择题的前三个，题型都比较简单，像填空题下面的11和12题，分别对应的是填空题的第一道题和第二道题，整体要求学生是先去读取信息，一些信息能够读出来之后，然后去联想到运用哪些公式，哪些条件定理去解决我的问题，比如说像第二道题，题干当中说到了复数对应的点坐标为(1,2)，需要学生读出来，对应的(1,2)这句话是什么意思，能不能联想到Z就等于1+2i的形式，再继续去解答问题。再比如像填空题第一个题定义域，各位学生在复习过程中就要去关注到一个小细节点的要求，填空题、选择题是要求答案保持一致，才能够完成对应的得分，也就是说在解决问题的时候考查学生的细心程度，定义域不能仅仅只是要求这个知识点你会，对应的格式书写上面是不是有关注得到，这个在复习过程当中也是要去关注到的。再像比如说后面这个12题第二个空，提到了一个焦点点到渐进线的距离，这个地方就需要学生去读出来这个当中涉及到了哪个公式，渐近线方程能不能读出来，是什么东西，然后焦点到渐近线的距离涉及到了一个公式就是点到直线的距离，你能不能够联想得到然后进行解题，虽然是基础题，也需要咱们学生去灵活的判断和分析的要求，这些是常规的题。
再像今年的考题当中和去年的考题当中，应该都会涉及到像类似于这种问题，这是去年试题当中选择题最后的一道题，考查的是一个类似于像求圆周率，体现数学和文化的结合，历史背景，其实它更多要求的是学生在审题过程当中去抓住关键信息，这道题本身提到了这里有个信息叫单位圆，而整个题干当中又没有把图形的圆画给咱们，所以它需要学生不仅仅是分析这个题干所说的设置要求，另外它定义了圆周率的计算公式，说把2π作为两个周长的算术平均数，在这个图形当中就需要学生先自己画出一个图形出来，在这个图形当中抓住关键信息，去解决对应的问题，那就是引入了数学方面具体的要求，包括像数形结合，在图形当中几何分析当中我需要去推算什么东西，哪个长度对应的是哪个实际意义，抓住这些关键点才能够完成解题，以及也需要学生在发现问题和解决问题的过程中去抓住一些核心的要素，像比如说这道题并没有给出n，他说n充分大，我们在自己画图的时候不可能把N画的特别大，一个圆是不能体现出来一个什么正十二边形、正三十六边形，学生可能在画图根本就不能够解决，这个时候又需要学生去灵活处理一下这些要求怎么落实到我的步骤过程当中，其实可以不妨让n去取值，去赋值一下，找到一定的规律之后来进行解答这道题，其实也就完成了。
在今年高考当中有学生跟我反馈到，像比如说最后一道选择题考查的是数列和函数的结合，其实它更多的是不仅仅单纯考查一个知识点，像这道题不也是吗?它不仅仅考了圆，可能有三角形，考查了三角形的知识，或者初中的一些简单的几何知识都糅合到一起去考查的，所以要求上面来讲就高了一些。比如说数学和实际生活的结合，像去年的填空题最后一道题，题干稍微有一点长，作为一个填空题需要找到所有符合的序号，需要学生去抓住一些关键字的信息，而这个题干当中出现了一个W的表达式，这个表达式我在这里用红色框给框出来了，学生读完之后，虽然说在这个试题当中是一个新颖的表示，它说定义为一个污水治理能力的表现，这个东西又跟我们数学学科里头涉及到的到底考查的是什么点，需要学生去抓住这个关键点，其实就是斜率的相反数，能够发现这个表达式跟我们学过的知识点挂上一个钩，那其实他就可以找到一些突破口来完成这道题的解答了。这个也就是在新高考要求下的核心素养的要求，直观想象，还有一些数学建模的要求。这道题其实这道图形大家如果据翻一翻咱们的教材，这道题其实这个图形在教材上是有的，所以它更多的是强调咱们的新高考要求下，其实对于教材也是要去仔细研读的，完成这些问题之后，才可以完成这道题得分的情况。
再比如说第三个，咱们有一些开放性的问题，这两年高考题里头都或多或少会体现出来一些开放性的问题，它体现出来的是需要学生灵活的去分析考查学生考场当中的应变能力，像这道题整体的难度并不是特别大，它需要引发学生去思考一些问题，看到这个表达式你能往哪里去想，你能想到的东西有哪些，虽然是一道看似比较简短的函数最值问题，但它又引入的是一个只需要找到一个符合的取值就可以了，并不是说需要找到所有符合的。这个地方需要学生想到的就是常规的解法我们怎么去解答，方法是不是比较熟练，再一个涉及到的知识点原理又有哪些，把这个解决之后可能完成咱们的得分。更多又对一些其他的学生有其他的要求，比如说观察分析能力，能不能够整体的去看待这个函数，从宏观和微观的角度看待一些问题，它不仅仅是考查数学学科的专业知识，更多是让学生感受到我们发现一个问题去解决一个问题的时候，能找到更多的一些东西，从不同的维度去看到，像这道题我可以简单的提一下，前面那个函数和后面那个函数组成了一个整体的函数f(x)，其实我们就可以看到整个函数的最大值我可以看成一个整体去求，我是不是可以从微观的角度拆分成两个部分，前面和后面分别达到最大值，然后取得相同的状态下那就可以达成咱们的目的了，这个时候后面的最大值是1，前面的最大值也是1，我只要在X取同一个值的情况下达到咱们的目的，这个值也就可以找出来了。所以它灵活的去考查，其实在咱们今年考题当中应该也是会有所体现的，它是北京的特色。
再像比如说，一些重难点的题型，它其实体现出来的是人才选拔，比如说去年的这两道题，我把它放到这里来了，一个是导数，一个是椭圆大题，这两个题对于大多数学生来讲还是有一定难度的，整体来讲需要学生去把控一些基本的知识点灵活去运用，比如说上面红色框框里，左边有个式子，右边有个式子，左边这个式子其实对大多数学生来讲都能够解决问题去求出那个T的值，但是对于右边这个式子，可能有一部分学生发现不出来的情况就可能解不出来这道问题了，所以这个地方需要学生灵活的去掌握数学的迁移能力，从一个你新学的知识点到另外一个知识点，灵活的给贯通起来了，那么这个时候咱们的知识点也就相对解问题的时候你的思路比较灵活一些，能够发现一些规律去解答问题，其实左右没有很大的区别，都是动用同一个方法去解答。再像比如下面椭圆这道题也是一样的，它更多要求的是几何图形的分析，题目是说了一些直线、交到哪儿，求一个PB和BQ两个长度的比值，但是在整个题干的描述当中它是没有图形给咱们的，需要学生综合的分析，先通过图形分析出来之后，然后让学生去把控到一个方法的选取问题，也就是说我题目要求的是什么，是不是按照常规的翻译方法翻到最后再来去想，我们用什么样的方法去解决，还是说需要让学生灵活的把控到我先根据咱们要求的目的是什么东西，来选取一下我中间一开始入手点怎么去下手，把这个方法给选取好了，可能从时间把控和整个计算复杂程度上来讲，可能就有一个比较大的优化，所以高考要求的其实都会在这些试题当中体现出来。
再像比如说最后一道题的创新题，一直都是延续着北京理科的风格，真的是北京一个比较独具特色的一道题了，它需要学生去把控的东西就会比较灵活一些了，它是一个新定义的问题，需要学生去发现问题，从一个新的知识点去迁移，根据它所设定的一些条件和要求去解答它所设定出来的一些问题，所以其实是考查学生的综合分析能力，包括在新高考下各个方面的逻辑推理、数学抽象等等这些核心素养的要求，它都会糅合到咱们的问题当中去的。所以像今年的高考题也是一样的，比如说也会有一些开放性的劣构式问题，像解三角形的问题，还有立体几何，考查空间想象、直观能力，整体的难度上来讲或大或小其实它都会万变不离其宗的去体现在平时的授课和学习过程中去展现出来的一些东西。
第三个部分是来看一看在新高考下给下一届和下下一届学生复习备考建议，这里列了一个备考的时间轴，大多数学校8月底左右学校就开学了，这个时候就正式进入到一轮复习了，在一轮复习过程当中主要夯实哪些东西，我们后面会具体一一进行说明，上学期有两次大考，一个是期中考试，一个是期末考试，再到寒假之后就会有一个适应性考试，去年是体现的适应性考试，今年叫做定位性考试，所以会有个小考。再就是下学期比较重要的一模考试和二模考试，分别在4月和5月，这两次大考是综合性的去考查学生在所有章节都复习完的情况下，再来去检测学生的知识点的掌握情况，这个大考的时间轴大家可以了解一下。具体在复习过程中我们需要关注哪些重点的内容呢，比如我们这里从三个层面先来提一提，第一个各个学生一定要建立起来一个目标，在目标明确的情况下，夯实自己复习过程中的一些基础，第二个在复习过程中去关注更多的细节要求，什么叫细节要求呢?比如说右边写了一个事例，咱们数学题里头，填空题上面是一个正确答案，是a大于等于0，但是如果学生去填了一个答案，填成了a大于0，填到这个横线上，他是不给分的，所以他就是一丁点的区别，你能解出a大于0这个，说明整个知识点的框架和你的分析能力和整个知识点的漏洞应该是没有什么太大的，基本上很多细节方面在复习过程中可能没有注意到，就差那么一丁点的区别，所以导致了这个答案就不一样了。所以在整个复习过程中我们也是要特别去关注到这一点的。
夯实基本格式，平时做事情也是一样的，我们要保证严谨，保证基本的格式一定是规范的，因为咱们的高考当中是有85分的解答题，它在解答题第三大题，第一句话就写了需要写出严谨的分析过程、演算步骤还有一些格式的书写，所以这个在平时的复习过程中特别要去重视一下。第三个是拓展咱们的思维，积累一些不同的思路，这个因为高考特别重视思维发散的，它可能都是在考查一个知识点，但是以不同的形式体现出来，或者以不同的话术描述出来，你能不能抓住这些关键的信息分析出来，这个可能对咱们的要求就会比较高一些，所以在复习过程中要特别关注到这一点，还有一些就是不同的思路，虽然说它考的题知识点可能会比较单一，或者是多个知识点糅合在一起去结合的时候，我们更多的要求学生去把控这些关键点，积累不同的思路，这个描述跟我们学过的哪个知识点能挂上钩，就算它是结合实际生活，它是一个新定义的问题，那又跟我们学过的哪个知识点能够联系起来，需要重视到这一些，在我们的问题去解答的时候，其实思维上面或者说灵活度上面来讲，你就没有那么多的问题了。
具体落实的角度来讲，我们从题型的角度，因为数学学科主要是三个大部分，选择题、选择填空作为小题，再以前三个解答题作为稍微好做一点的问题，但是今年好像有一点微调，有孩子跟我说前面的解答题做的不是太顺，但是后面的题好像做的好一点，所以他其实会更注重的不仅仅要求每次都是那么固定的，他需要你灵活的在考场当中转换这些东西。从选择填空的角度来讲给大家一些小建议，比如说基础性的东西是一定要夯实到位的，重视基本的定义，像数学里头有一种题型叫做充分必要条件的问题，而大多数学生都会觉得比较头疼，因为它对细节的定义概念要求是比较深入的，它就一丁点的区别可能答案就不一样，所以它抓住了这些东西，在复习过程中是要侧重点去关注到的。第二个是研读咱们的教材，下面就是像比如说积累一些不同的思路、解法，熟悉咱们的一些公式，数据的分析其实多提一下。因为在整个高考要求里头它需要你在一道题里头有多个数据和条件的时候你需要去灵活的选取和分析，这个条件对应的是来解答哪一个问题的，或者说一道问题总共有三问，我需要去判断这个数据要不要用到我的第一问，第一问需不需要用到，还是说它只需要在第二问用到，你是这个灵活的分析，它对咱们的复习过程中都是很重要的。
第三个就是计算能力，因为咱是数学学科，必然是逃不了计算要求，一些审题的能力，这道题文字信息很长，因为里头有一道题叫做概率题，大多数时候概率题文字信息都会比较冗长，需要你去提取一些信息，去审出题干到底在问什么东西，抓住这些关键信息之后，我们可能才能够解答出来这道题，对学生的综合分析要求能力就比较高一些了。再就是咱们在新高考要求下提出来的数学思想核心素养，这个在平时的复习过程中都是要去重视下来的，咱们数学里头像转化与化归、函数与方程、数形结合这些思想，在你的解答过程中是不是能够灵活的运用，再就是各个知识点之间的框架的搭建，咱们不能够说在解三角形问题里头，能够用解三角形的知识去解决问题，当这道题一旦是考了一个立体结合，需要用到解三角形知识的时候，我就想不到了，这个时候其实就是在复习过程中没有重视到这个框架的搭建，所以这个要在复习过程中去关注到。
第二个就是基础大题，就是前面相对靠前的解答题，这个要特别明确考点，它到底在考查的一些知识点有哪些，你心中要有一个熟练度，包括一些常规的解法，要能够灵活的运用，虽然以不同的文字去描述。举一个简单的事例，一个三角函数它的最小正周期是多少，问这么一个问题的时候，题干的信息可能会用不同的条件去体现出来，比如说两个相邻的两个零点之间的距离是多少，相邻两个最大值之间的距离是多少，相邻两条对称轴之间的距离是多少等等这样的描述，它可能都是在体现考查，但是不同的描述会有不同的难度，在复习过程中就要去关注到这些。然后就是夯实基本格式和步骤的规范，这是保证前面几个大题尽力不丢分的基本要求。
再到后面就是稍微重难点的一些大题，像后面三个解答题，对大多数学生来讲，要求的是夯实一些基本的解法，一些重要条件的翻译，用不同的维度展示的时候都能读懂它，包括咱们的基本得分，以保分、拼分和冲分的要求来进行后三个题的解答，那么对计算能力上面来讲，比如说一般是倒数第二个或者倒数第三个的椭圆大题，它对计算能力要求是比较高的，在你平时复习过程中就要把自己的计算能力给夯实到位。再往下就是一些具体落实的要求了，比如说在复习过程中一定要夯实基础脚踏实地，这里对基础知识的要求是一定去重视的，包括一些基本的通法，在整个复习过程中也要求把这些基本的通法掌握的情况下，还要去灵活的运用，当它换了一个形式去说的时候，你能不能够依旧想到它其实还是在考我们学过的哪个知识点，读取出来之后可能就能够解决咱们的问题了。
然后就是各个模块的专题复习，建立起来错题本和笔记本，这两个东西一定要有，笔记本是咱们复习的一个有用的工具，它是了解到你自己对一个章节的知识点，比如说三角函数、解三角形，这个东西下面的知识点有哪些，你心中有一个大概的框架之后，整体解题的思路上面来讲就不会说那么受阻了，错题本也是比较有用的工具，大家也要去重视起来，因为错题本这个东西它是咱们复习去查漏比较有用的工具，一个错题你把它整理了，那么你要去思考你的错误点在哪里，是计算上面没有过关，还是说这个知识点上面你有一些没有理解到的问题，把这个问题给积累起来，定期的去巩固，温故而知新的过程，那就是可以解决一个知识点一个知识点的去解决。然后在整个复习过程中也要去关注到复习计划的制定，整个过程是一定要去坚持的，因为对于一轮复习的话，咱们的战线稍微拉得比较长一点，整个高三第一学期全部在进行一轮复习的，直到期末考试基本上一轮复习才差不多结束，所以在整个过程当中一定要有一个良好的复习计划。
第二点的要求是尽力的提升关注细节，刚刚在前面我也提到了，一个细节的要求真的就是差一丁点可能答案就不一样了，它的得分在解答题可能会扣步骤分，小题直接就丢了，重视基础知识，包括知识点的原理和框架的搭建。比如说我学了解三角形的知识，我已经掌握的比较透彻了，立体几何我也掌握的比较透彻了，保不齐人在这两个知识点糅合在一起的时候，你能不能够也灵活的去运用，高考要求本来就是需要综合的运用知识点，去解答一些实际生活当中的问题，或者是数学学科里单一知识点的问题。第二个是积累的一些解题方法，包括用到一题多解和一法多用，这里一题多解就是在平时的复习过程中要去想，这道题虽然说你做对了，但你是不是可以想一想，你的解法可不可以更优一些呢，然后你用到的这个方法是不是又可以用到更多问题上面去呢，这个时候你想得更多一些，对你的复习是非常有用的。第三点是夯实计算，提升速度和准确度，因为高考一直数学学科都只有2个小时的考试时间，时间是有限的，我如何在有限的时间里头去解决更多的问题，拿到更多的分数，所以在整个复习过程当中都是要去关注到的，不能到第二学期之后再来去关注你的做题速度和准确度的问题。
最后一个部分是数学思维和数学思想的要求，首先第一个小要求规范书写，做任何事情咱们都需要保持一个严谨和完整的过程，有始有终，解决问题都得这样。尤其是像稍微难一点的解析和导数这两个部分，尽力的冲刺满分，去关注到自己的一些解法。模块化上面来讲，稍难的一些考点在复习过程中寻找一些解题方法，就是一道题你做完了不要只是解完了这道题，去想一想这道题在考查咱们什么知识点，当你想的这些东西更多之后，也就是跳出这道题去想更多的东西，你整个复习过程中就会有更多的收获。第三个是积累一些重要的结论，像刚刚前面我们看到去年的一道填空题，说到了焦点到渐近线的距离，那其实是有一个小结论的，如果大家了解过可能就会很快的解答这个问题。所以说它更多要求是展现出来学生在整个分析过程中完美的闭环，从读题、审题到解题到最后拿到这个对应分数完整的闭环是综合要求的。
再就是在复习过程中关注数学思想和核心素养的一个要求，直观想象，一些数学建模的要求，在这些问题上面都要去接触，不能单一的只是了解到这些对应的知识点，三角形里头有什么正弦定理、余弦定理，这些都是很冷冰冰的知识点，你需要去灵活的判断这些知识点可能结合到实际背景下面的时候，你会不会想得到如何去运用，你平时积累的那些解法能不能够换了一个背景，换了一个条件的情况下，能不能够还是分析出来它可以借鉴过来去运用，这个在平时的复习过程中，对这些要求是要去思考一下的。
我们再整体回顾一下，就是在夯实基础的同时关注更多的细节要求，对于错题要重视，定期的去温习笔记，重做一些错题，去夯实基础点，以前错了现在是不是彻底的掌握了，错题其实都是可以由先没有到慢慢变厚到最后变薄的过程，因为到后面复习压力一大的时候，我们就尽量的不要去弄更多的错题了。第三个是回归到教材，重视各个章节知识点基本的定义和要求，在复习过程中也要进行专题把控有度，各个模块你需要给自己制定一些计划，你需要去拿到多少分数，需要拿多长时间去解答这道问题，想到一些更多的东西。然后在平时的复习过程中多去问问题，一道题做对了你也可以问问题，问老师这道题还有没有更多的思路，它考查的细节点有没有关注得到，这些在你平时学习中思考得更多，你收获也会更多的，规范一下书写。
最后是积累一些解法，发散自己的思维，虽然说都是一个知识点，比如说数列和函数的结合，你能想得到的它能借助函数的哪些知识可以解答这个数列的问题，是用函数的单调性还是函数的图像，还是函数的什么性质的问题去解决，到底是哪个小东西会更具有优势一些，所以这些平时你复习过程中想得更多一些，你的收获也会更多一些，对于你到高三下学期整体各个模块全部糅合到一张整合的试卷里头之后，你能够想得到的东西和你思维发散上面来讲就会更灵活一些了，你在解题的时候能想到的东西更多，你可能会寻求有这个解法，有那个解法，我会选择更优的思路去解答问题，整个你的考场的状态其实在平时也会不一样，这个是咱们具体的落实点。
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